Matemática Básica

Los intervalos constituyen una de las formas para representar subconjuntos de números reales.

Tipos de intervalos numéricos:

• Sea  $A = \lbrace{x \in \mathbb{R}: a \leq x \leq b }\rbrace$
  

Al conjunto $A$ pertenecen todos los números reales mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$, por tanto los números reales $a$ y $b$ pertenecen al intervalo, entonces este intervalo se denota por $[a; b]$.
El intervalo también se pude representar gráficamente en la recta numérica.

Observa que como $x \geq a$ y $x \leq b$ en la representación gráfica se incluyen $a$ y $b$, por lo que se utilizan círculos con rellenos para indicar que pertenecen al intervalo.

• $B = \lbrace{x \in \mathbb{R}: a < x < b}\rbrace$
  

Al conjunto $B$ pertenecen los números reales que son mayores que a y menores que $b$, luego los números reales $a$ y $b$ no pertenecen al intervalo, entonces este intervalo se denota por $(a; b)$ 

Fíjate que como $x < a$ y $x < b$ en la representación gráfica no se incluyen $a$ y $b$, por lo que se utilizan círculos sin relleno para indicar que no pertenecen al intervalo.

• $C = \lbrace{x \in \mathbb{R}: a< x \leq b }\rbrace$

Al conjunto $C$ pertenecen los números reales que son mayores que $a$ y menores o iguales que $b$, luego el número real a no pertenece al intervalo y $b$ pertenece al intervalo, entonces este intervalo se denota por $(a; b]$.

Observa que como $x > a$ y $x \leq b$ en la representación gráfica no se incluye  $a$  porque no pertenece al intervalo, pero si se incluye a $b$, pues $b$ si pertenece al intervalo.

• $D = \lbrace{ x \in \mathbb{R}: a \leq x < b}\rbrace$

Al conjunto $D$ pertenecen los números reales que son mayores o iguales que $a$ y menores que $b$, luego el número real $a$ pertenece al intervalo y $b$ no pertenece, entonces este intervalo se denota por $[a; b)$.

Fíjate que como $x \geq a$ y $x < b$ en la representación gráfica se incluye $a$ porque pertenece al intervalo, pero no se incluye a $b$, pues $b$ no pertenece al intervalo.

• $E = \lbrace{x \in \mathbb{R}: x \leq a }\rbrace$
  

Al conjunto $E$ pertenecen todos los números reales que son menores o iguales que $a$, entonces este intervalo se denota  $(-∞; a]$.

• $F = \lbrace{x \in \mathbb{R}: x < a }\rbrace$

Al conjunto $F$ pertenecen todos los números reales que son menores que $a$, entonces este intervalo se denota $(-∞; a)$.

• $G = \lbrace{ x \in \mathbb{R}: x \geq a }\rbrace$
  

Al conjunto $G$ pertenecen todos los números reales que son mayores o iguales que $a$, entonces este intervalo se denota $[a; +\infty)$.

• $H = \lbrace{ x \in \mathbb{R}: x > a }\rbrace$
  

a) $\lbrace{x \in \mathbb{R} : 3 ≤ x ≤ 4}\rbrace$ = $[3; 4]$
b) $\lbrace{x \in \mathbb{R} : x < 5}\rbrace$ = $(-∞; 5)$
c) $\lbrace{x \in \mathbb{R} : - 7,2 ≤ x ≤ -1}\rbrace$ = [- 7,2; -1)
d) $\lbrace{x \in \mathbb{R} :  \frac{1}{2} < x < 2}\rbrace$ = $( \frac{1}{2};2 )$

En general,
Si $x > 0$, entonces $x$ es un número positivo.
Si $x ≥ 0$, entonces $x$ es un numero no negativo.
Si $x < 0$, entonces $x$ es un número negativo.
Si $x ≤ 0$, entonces $x$ es un número no positivo. 

Ejemplo:
a) Sea $A$: conjunto formado por los números reales no positivos mayores que -3, entonces $A = \lbrace{x \in \mathbb{R} : -3 < x ≤ 0}\rbrace$ = (-3; 0]
b) Sea $B$: conjunto formado por los números enteros positivos menores o iguales que 2, entonces $B = \lbrace{x \in \mathbb{Z} : 0< x ≤ 2}\rbrace$ = {1, 2}
c) Sea $C$: conjunto formado por los números reales no negativos menores o iguales que 5, entonces $C = \lbrace{x \in \mathbb{R} : 0 ≤ x ≤ 5}\rbrace$ = [0; 5]
d) Sea $D$: conjunto formado por los números enteros negativos mayores que -5, entonces $D = \lbrace{x \in \mathbb{Z} : -5 < x < 0}\rbrace = \lbrace{-4, -3, -2 -1}\rbrace$