Matemática Básica

En el campo de la ciencias y de la sociedad uno de los aspectos más importantes está en el establecimiento de las correspondencias que existen entre los fenómenos que ocurren en el universo, por ejemplo los relacionados con el crecimiento demográfico; con aspectos económicos; con todo tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales como la variación de la presión atmosférica, la velocidad y la aceleración, las leyes de gravitación universal, la desintegración de sustancias radioactivas o la reproducción de especies vegetales y animales entre otras.

Para la compresión de situaciones de la vida como las mencionadas anteriormente se hace necesario la utilización del concepto de función que te permitirá explicar y describir determinados fenómenos que se dan en la economía, la física,  la química, las ciencias sociales, el arte, la técnica, etcétera.

  Función como correspondencia entre conjuntos

• Una función f es una correspondencia en la que a cada elemento de un conjunto A, se le asocia un único elemento del conjunto B. Se denota por  $f: A \rightarrow B$

También puede definirse de la siguiente manera:

  Función como conjunto de pares ordenados

• Dados dos conjuntos $A$ y $B$, cualesquiera una función f de $A$ en $B$ (f: $A \rightarrow B$) es un conjunto de pares ordenados $(x;y)$ tal que $x \in A, y \in B$, y cada  $x$ aparece como la primera componente en un solo par ordenado.

Al conjunto $A$ se le denomina dominio de la función y a sus elementos se les llama argumentos o preimágenes. A los elementos de $B$, que son correspondientes de algún elemento de $A$, se les llamaimágenes y al conjunto de ellos se le denominaconjunto imagen ocodominio . 

$x$   es el argumento o preimagen.
$f(x)=y$ es la imagen.
La variable $y$ d epende de la variable $x$. De donde podemos decir que:
 $x$ es la variable independiente y  $y$ es la variable dependiente.

Las funciones se pueden representar a través de diagramas de Venn, tablas, gráficos cartesianos, ecuaciones y en forma descriptiva.

Son ejemplos de funciones:

• a) La correspondencia definida de $A=\lbrace{-6; -4; 0; 1 }\rbrace$ en $B =\lbrace{-3;-2;0; \frac{1}{2} }\rbrace$ por la ecuación $y= \frac{x}{2}$ con $x \in A, y \in B$.
  
• b) La correspondencia definida de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ que a cada número real le hace corresponder su opuesto.
• c) La correspondencia definida de $\mathbb{N}$ en $\mathbb{N}$mediante la cual a cada valor real $x$ se le hace corresponder su duplo.
• d) La correspondencia representada en la siguiente tabla.
  
  

  $x$	1	2	3	4	5
  $y$	a	a	b	c	c

  
  e) La correspondencia representada en la siguiente figura.
  

Para calcular los valores funcionales basta sustituir el valor en la ecuación de la función.

Ejemplo:

Sea la función f definida por la ecuación $f(x)=2x+1$. Calcula $f(5)$

$f (5)= 2 \cdot 5+1=10+1=11$

Durante tus estudios has trabajado con diferentes tipos de funciones, en particular con la funciones numéricas que son aquellas cuyo dominio e imagen son subconjuntos de números reales.

¿Recuerdas cuáles son?

Se trata de las funciones lineales, cuadráticas, potenciales, radicales, modulares, de proporcionalidad inversa,  exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. De estas funciones se debe conocer la ecuación que la define, su representación gráfica y las propiedades globales; tales como: dominio, imagen, ceros, monotonía, paridad, inyectividad, signos, periodicidad y otras.

Propiedades globales de las funciones

• 1. El cero de una función es un valor del dominio tal que su imagen es cero.
     Gráficamente se puede ver como la abscisa del punto donde el gráfico de la función corta al eje de las abscisas o eje de las $x$.
     Una función puede tener varios ceros o no tener.
     
     

  2. Una función es monótona si es creciente o decreciente en todo su dominio. También existe el caso de funciones que crecen o decrecen por intervalos.
     

     • Una función es monótona creciente (estricta) si para todo $x_1 < x_2$, se cumple que $(f(x1 ) < f(x2 )$.

     • Una función es monótona decreciente (estricta) si para todo $x_1 < x_2$, se cumple que $(f(x1 ) > f(x2 )$.

  3. La función $f$ es par si y solo si para todo $x \in Domf$ se tiene que $f(x) = f(-x)$ (argumentos opuestos del dominio tienen la misma imagen).
     El gráfico de una función par es axialmente simétrico con respecto al eje de las ordenadas.  
     La función $f$ esimpar si y solo si para todo $x \in Domf$ se tiene que $f(x) = -f(-x)$ (argumentos opuestos del dominio tienen imágenes opuestas).    
     El gráfico de una función impar es centralmente simétrico con respecto al origen de coordenadas.
  4. El valor máximo de una función es el mayor valor que puede alcanzar un elemento de su imagen.
     El valor mínimo de una función es el menor valor que puede alcanzar un elemento de su imagen.
     
  5. Una función real $f$ , esperiódica si existe un número real $T$ , tal que para todo elemento, $x$ , del dominio de la función se cumple que  $<span style="font-family: Verdana,Geneva,sans-serif; font-size: medium;">f(x) = f(x + T)$ . El número T recibe el nombre de período de la función.